渋谷教育学園幕張中学 算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問2 順列・組み合わせ・場合の数

＜変化する色が0色の場合＞

• 全ての色が変わらないので1通り・・・(1)

＜変化する色が1色の場合＞

• 変化する色が1回スイッチを押して他の色になった後に、2回目のスイッチを押しても元の色に戻れないので、不適。

＜変化する色が2色の場合＞

例) 赤と青が変化する色の場合、互いに変化しあう2色になる。規則は「赤→青」「青→赤」

• 変化する色を4色から2色選ぶ組み合わせ：4C2 = ( 4 × 3 ) ÷ 2 = 6(通り)・・・(2)

＜変化する色が3色の場合＞

例) 変化する色が「青・黄・緑」とした時に、互いに変化しあう2色のペアを作る、例えば規則を「青→黄」「黄→青」とした時は、「緑」が変化できる色が無くなってしまうので不適。

変化する3色が順繰りにした場合、例えば規則を-「青→黄」「黄→緑」「緑→青」とした時は、2回で元の色に戻れないので不適。

＜変化する色が4色の場合＞

例) 互いに変化しあう2色のペアを2ペア作る、規則は「赤→青」「青→赤」「黄→緑」「黄→緑」。

「赤→青」「青→赤」をペアと選ぶことと、「黄→緑」「黄→緑」をペアと選ぶことは同義なので、組み合わせは「変化する色を4色から2色選ぶ組み合わせ」を2で割ったものとなる。

• 変化する色を4色から2色のペアを2ペア選ぶ組み合わせ：
  4C2 ÷ 2 = ( 4 × 3 ) ÷ ( 2 × 2 ) = 12 ÷ 4 = 3(通り)・・・(3)

＜赤が変化する場合＞

• 例えば1回目で「青」に変化する場合、規則は、「赤→青」「青→黄」「黄→赤」と3回目で「赤」にならなくてはならないが、この規則だと順繰りになってしまい。「青」や「黄」が3回目で必ず「赤」にならないため不適となる。よって、「赤は変化できない色」となる。

＜赤が変化しない場合＞

「赤は変化できない色」かつ「3回押して赤になる色がある」ということは、「青→黄→緑→赤」のように「すべての色を経由して赤になる色（この色を「★」とする）が一色ある」ということとなる。

• ★が「青」だとすると規則は「青→黄」「黄→緑」「緑→赤」と「青→緑」「緑→黄」「黄→赤」の2通り
• どの色が★か：青、黄、緑の3通り

2 × 3 = 6(通り)・・・(4)