麻布中学 算数 2022年度入試問題 問5 図形と比

FG : GA = BH : HC = DI : IE = 2 : 1なので、図のようになる。

六角形ABCDEFを1とし、AB : CF = 1 : 2 なので△ABCと△ACFは下記表せる。

△ABC = 1 ÷ 2 × 1/(2 + 1) = 1/6

△ACF = 1 ÷ 2 × 2/(2 + 1) = 1/3・・・(1)

FG : GA = 2 : 1なので、(1)より△ACGと△GCFは下記表せる。

△ACG = 1/3 × 1/(2 + 1) = 1/9 = 6 × 1/9 = 2/3(cm²) ・・・(2)

△GCF = 1/3 × 2/(2 + 1) = 2/9・・・(3)

△AJGを求めるために、GJ : JCを明らかにしたい。そのため、CDの延長線とAIの延長線の交点をMとし、△AJG∽△MJCを作る。

CD = ③のため、DMの比が明らかになれば、△AJGと△MJCの辺の比が明らかになる。

DMの比を明らかにするために、DCとABの延長線の交点をNとし、△AMN∽△IMDを作る。

この時、△NBCは正三角形のため、BN = 3である。

よってAN = 6なので△AMNと△IMDの辺の比は、3 : 1になりDMの辺の比は下記表せる。

DM + 6 : DM = 3 : 1

DM × 3 = ( DM + 6 ) × 1

DM × 3 - DM = 6

DM × 2 = 6

DM × 2 ÷ 2 = 6 ÷ 2

DM = 3・・・(4)

(4)より、AG : MC = 1 : 6となり、GJ : JC = 1 : 6である。

よって、(2)より△AJGを下記求められる。

△AJG = 2/3 × 1/(6 + 1) = 2/21(cm²)

△JKLを求めるためには、KCと他の辺の比を明らかにするところだが、四角形ABCJ、四角形EFAL、四角形CDEKが対象図形のため合同であることを利用する。

これにより、△JKLを求める式は下記成り立つ。

△JKL = 1 - 四角形ABCJ × 3・・・(5)

ここで、四角形ABCJは四角形ABCF - △GCF - △AJGであるので、(2)と(3)より下記表せる。

四角形ABCJ = 1/2 - 2/9- 1/63

= 63/126 - 28/126 - 2/126

= 33/126

= 11/42・・・(6)

(5)と(6)により、△JKLを下記求められる。

△JKL = 1 - 11/42 × 3 = 1 - 33/42 = 9/42 = 6 × 9/42 = 9/7 = 1と2/7(cm²)

答え：(1)2/3cm² (2)2/21cm² (3)1と2/7cm²