麻布中学 算数 2022年度入試問題 問3 順列・組み合わせ・場合の数の過去問解答・解説です。
問題
次の条件に当てはまる4桁の整数を考えます。
条件:1つの数字を3個、別の数字を1個並べて作られる。
例えば、2022はこの条件に当てはまっています。以下の問いに答えなさい。
(1)条件に当てはまる4桁の整数のうち、どの桁の数字も0でないものはいくつありますか。
(2)条件に当てはまる4桁の整数は全部でいくつありますか。
(3)条件に当てはまる4桁の整数のうち、3の倍数であるものはいくつありますか。
引用元:麻布中学校 2022年度入試問題 算数 問3
解答・解説
同じ数字3個をA、別の数字1個をBとし、「条件のうちどの桁の数字も0でないもの」は、下記組み合わせで求められる。
- A：(1～9)の9通り
- B：(1～9)のうち1個を除いた8通り
- Bがどの位置か：A A A Bの並び替え → 4通り
(条件のうちどの桁の数字も0でないもの) → 9 × 8 × 4 = 288(個)
条件の整数は、＜Bが4桁目の場合＞と＜Bが1～3桁目の場合＞で場合分けをして求められる。
＜Bが4桁目の場合＞
例) B A A A
- 4桁目(B)：(1～9)の9通り
- 1～3桁目(A)：(1～9)のうちBの1通りを除いた8種類 + 0 = 9通り
(Bが4桁目の場合) → 9 × 9 = 81(個)・・・(1)
＜Bが1～3桁目の場合＞
例) A A A B
- A：(1～9)の9通り
- B：(0～9)のうちAの1通りを除いた9通り
- Bが1～3桁目のどの位置か：A A Bの並びかえ → = 3通り
(Bが1～3桁目の場合) → 9 × 9 × 3 = 243(個)・・・(2)
(1)、(2)より条件に当てはまる4桁の整数は下記求められる。
(条件の整数) → 81 + 243 = 324(個)
3の倍数である条件は、「すべての位の数を足して3の倍数であれば元の数は3の倍数」である。
また、Aがどの数でも「Aを3つ足した数は3の倍数か0」なので、「Bが3の倍数か0であれば条件の4桁の整数は3の倍数」であるといえる。よって条件のうち3の倍数である整数は、＜Bが4桁目の場合＞と＜Bが1～3桁目の場合＞で場合分けをして求められる。
＜Bが4桁目の場合＞
例) B A A A
- Bが3の倍数：(3、6、9)の3通り
- A：(0～9)の10通りのうちBの1通りを除いた9通り
(Bが4桁目の場合) → 3 × 9 = 27(個)・・・(3)
＜Bが1～3桁目の場合＞
例) A A A B
また、＜Bが0の場合＞と＜Bが3の倍数の場合＞で場合分けをする。
＜Bが0の場合＞
例) A A A 0
- Bが0：1通り
- A：(1～9)の9通り
- Bが1～3桁目のどの位置か：A A Bの並びかえ → 3通り
(Bが1～3桁目の場合かつBが0の場合) → 1 × 9 × 3 = 27(個)・・・(4)
＜Bが3の倍数の場合＞
例) A A A 3
- Bが3の倍数：(3、6、9)の3通り
- A：(1～9)の9通りうちBの1通りを除いた8通り
- Bが1～3桁目のどの位置か：A A Bの並びかえ → 3通り
(Bが1～3桁目の場合かつBが3の倍数の場合) → 3 × 8 × 3 = 72(個)・・・(5)
(3)、(4)、(5)より「条件に当てはまる4桁の3の倍数の整数」は下記求められる。
27 + 27 + 72 = 126(個)
答え：(1)288個 (2)324個 (3)126個
ポイント
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