麻布中学 算数 2022年度入試問題 問4 速さ

「弟の速さ」をx、「兄の速さ」をy、弟がA地点からゴールまでかかった時間を1とすると、下記それぞれの速さの式が成り立つ。

競争の回数	スタート地点	人	速さ(秒速)	時間(秒)	道のり(m)
1回目	A	弟	x	1	x
1回目	A	兄	y	1 - 4.6	x
2回目	B	弟	x	1 - 5.6	x - 24
2回目	A	兄	y	1 - 4.6	x

ここで、2回目の弟の値に注目すると、速さに関して下記式が成り立つ。

x = x - 24 ÷ ( 1 - 4.6 )

この式を整理して下記xが求められる。

x × ( 1 - 5.6 ) = ( x - 24 ) × ( 1 - 5.6 ) ÷ ( 1 - 5.6 )

x - x × 5.6 = x - 24

x - x + 24 = x × 5.6

x × 5.6 = 24

x × 56/10 = 24

x × 56/10 × 10/56 = 24 × 10/56

x = 30/7 = 4と2/7(秒)

A地点の6m東にC地点があり、A地点の24m西にD地点があり、弟がC地点から、兄がD地点から同時に出発しているので位置関係は下記の通りである。

これについて表にまとめる。

競争の回数	スタート地点	人	速さ(秒速)	時間(秒)	道のり(m)
1回目	A	弟	x	1	x
1回目	A	兄	y	1 - 4.6	x
2回目	B	弟	x	1 - 5.6	x - 24
2回目	A	兄	y	1 - 4.6	x
3回目	C	弟	x		x - 6
3回目	D	兄	y	(x + 24 ) ÷ y	x + 24

ここで「3回目の弟の時間」は30/7mの時間から6m分の時間を引いたものになるので、下記表せる。

3回目の弟の時間 = 1 - 6 ÷ 30/7 = 1 - 6 × 7/30 = 1 - 7/5

競争の回数	スタート地点	人	速さ(秒速)	時間(秒)	道のり(m)
1回目	A	弟	x	1	x
1回目	A	兄	y	1 - 4.6	x
2回目	B	弟	x	1 - 5.6	x - 24
2回目	A	兄	y	1 - 4.6	x
3回目	C	弟	x	1 - 7/5	x - 6
3回目	D	兄	y	(x + 24 ) ÷ y	x + 24

ここで、「3回目の兄と弟の時間が等しくなる」ので、下記式が成り立つ。

1 - 7/5 = (x + 24 ) ÷ y

(1 - 7/5 ) × y = (x + 24 ) × y ÷ y

y - 7/5 × y = x + 24・・・(1)

また、1回目の兄の値に注目すると、速さに関して下記が式が成り立つ。

y × ( 1 - 4.6 ) = x

y - 4.6 × y = x・・・(2)

(1) - (2)より、下記yが求められる。

y - 7/5 × y = x + 24
- ) y - 4.6 × y = x

- 7/5 × y + 46/10 × y = 24

- 7/5 × y + 23/5 × y = 24

16/5 × y = 24

16/5 × 5/16 × y = 24 × 5/16

y = (秒速)15/2m

答え：(1)秒速4と2/7m (2)秒速15/2m