浅野中学 算数 2022年度入学試験問題 問3 順列・組み合わせ・場合の数

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1 問題
2 解答・解説

浅野中学算数 2022年度入学試験問題問3 順列・組み合わせ・場合の数の過去問解答・解説です。

問題

縦4個横4個の合計16個のマス目のそれぞれに、1、2、3、4いずれかの数字を入れていきます。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列といいます。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方が何通りあるかについて考えます。

[図1]はこの入れ方に従って数字を入れた一例です。

まず、[図2]のように、1行目に左から1、2、3、4の順に数字が入っている場合について考えます。

続いて1列目の残りの3つのマス目に、[図3]のように、上から順に2、3、4と数字を入れます。

(1)[図4]のように2行2列目に1を入れたとき、残り8マスの数字の入れ方は2通りあります。この2通りの数字の入れ方を次の2つの図のマス目に書き入れなさい。

以下、ア～キにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

(2)[図5]のように2行2列目に3を入れたとき、残り8マスの数字の入れ方はア通り、[図6]のように2行2列目に4を入れたとき、残り8マスの数字の入れ方はイ通りあります。このことと(1)の結果を用いて、[図3]の状態の残り9マスの数字の入れ方は全部でウ通りあるとわかります。

(3)(2)のようにして16マスすべて埋まった数字の並びのそれぞれについて、1行目は動かさずに、2～4行目だけを行ごと入れ替えることで、異なる数字の並びを作ることができます。

2、3、4の3つの数字を一列に並べる並べ方はエ通りあるので、これらのことと(2)の結果を用いて、[図2]の状態の残り12マスの数字の入れ方は全部でオ通りあるとわかります。

(4)すべてのマス目が空白の状態のとき、1行目の4つのマス目に1、2、3、4の数字を同じ数字が1回しか現れないように入れる入れ方は全部でカ通りあります。このことと(3)の結果を用いて、この16個のマス目の数字の入れ方は全部でキ通りあるとわかります。
引用元:浅野中学校 2022年度入学試験問題算数問3