開智日本橋学園中学 算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問5 順列・組み合わせ・場合の数

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1 問題
2 解答・解説

開智日本橋学園中学算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問5 順列・組み合わせ・場合の数の解答・解説です。

問題

同じ大きさのブロックをたくさん用意して、以下の規則☆にしたがって、下から上、左から右へ積み上げていくことにします。

規則☆

①積む段数は2段以上とする。

②一番上の段以外は、一つ下の段のブロックより1個少ない数だけ積む。

③一番上の段は、一つ下の段のブロックの数よりも少なければ何個積んでもよい。

例えば、一番下の段に6個のブロックを使って4段積むときには、下から2段目は5個、3段目は4個ですが、一番上の段は3個、2個、1個のどれでもかまいません。また、一番下の段に6個のブロックを使って2段積むときは、下から2段目は一番上の段になるので、5個、4個、3個、2個、1個のどれでもかまいません。

(1)全部で10個のブロックをこの規則☆にしたがって積むとき、全部で何通りの積み方がありますか。

(2)全部で100個のブロックをこの規則☆にしたがって積むとき、一番下の段のブロックの個数が最も少なくなるように積みたいと思います。このような積み方をしたとき、一番下の段のブロックの個数、段数、一番上の段のブロックの個数はそれぞれ何個になりますか。

(3)(2)の積み方のとき、初めから80個目のブロックの位置を下からA段目、左からB番目であったとします。ある個数のブロックを規則☆にしたがって積んでいくとき、初めから80個目のブロックが、下からA段目、左からB番目に来るように積むことができるブロックの個数は、全部で何通りありますか。
引用元:開智日本橋学園中学校 2022年度入学試験問題(第1回) 算数問5