武蔵中学 算数 2022年度入試問題 問3 順列・組み合わせ・場合の数

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武蔵中学 算数 2022年度入試問題 問3 順列・組み合わせ・場合の数の解答・解説です。

問題

A、B2つの皿と、3g、4g、5g、6g、7g、8g、9gの7つの分銅があり、9gの分銅はAにのせてあります。残りの6個の分銅もA、Bどちらかの皿にのせます。ただし、Bにも少なくとも1個の分銅をのせるものとし皿の重さは考えません。〈例〉のようなのせ方をしたとき、Aだけに着目して349と表すことにします。そのとき、数字は小さい順に書きます。次の各問に答えなさい。(式や考え方も書きなさい)

(1)A、Bの重さが等しくなるようなのせ方をすべて書きなさい。ただし、349のように、Aだけに着目した表し方をしなさい。

(2)BがAより重くなるのせ方は全部で何通りありますか。

(3)AがBより重くなるのせ方は全部で何通りありますか。

引用元:武蔵中学校 2022年度入試問題 算数 問3

解答・解説

全ての分銅を足した重さ」は下記表せる。

3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42(g)

A、Bの重さが等しくなるようなのせ方」を求めるので、「一つの皿の重さ」は下記表せる。

42 ÷ 2 = 21(g)

Aの更には9gの分銅が常に乗っているので、「Aに乗せる残りの分銅の量」は下記表せる。

21 - 9 = 12(g)

残りの分銅でAに乗せる残りの分銅12(g)を作る組み合わせを考える。分銅1つでは12gを作れないので、<3つの分銅を使う場合>と<2つの分銅を使う場合>を考える。

<3つの分銅を使う場合

345の1通り・・・(1)

※3つの分銅を使う場合の1番小さい組み合わせ345でしか作れないので、4つ以上の分銅については考えなくてよい。

2つの分銅を使う場合

4857の2通り・・・(2)

(1)(2)より「A、Bの重さが等しくなるようなのせ方」は下記求められる。

3459489579(の3通り)・・・(3)

BがAより重くなるのせ方」を求めることは「Aに乗せる残りの分銅の量 < 12の場合の組み合わせを求める」と置き換えられる。(3)より3つの分銅を使う場合は12以上になってしまうので、「Aに乗せる残りの分銅の量」について、<分銅をこれ以上乗せない場合>と<1つの分銅を乗せる場合>と<2つの分銅を乗せる場合>を考える。

<分銅をこれ以上乗せない場合

1通り・・・(4)

1つの分銅を乗せる場合

3~8の分銅:6通り・・・(5)

2つの分銅を乗せる場合

343536373845464756の9通り・・・(6)

(4)(5)(6)より「BがAより重くなるのせ方」は下記求められる。

1 + 6 + 9 = 16(通り)・・・(7)

AがBより重くなるのせ方」を求めるには、「全体の組み合わせ」から「A、Bの重さが等しくなるようなのせ方」と「BがAより重くなるのせ方」を引くことで求められる。

全体の組み合わせ」は、「3~8の分銅がそれぞれAの皿かBの皿のいずれかに乗るか」から「すべてAの更に乗ってしまう場合」を引けばよいので下記表せる。

26 - 1 = 64 -1 = 63(通り)・・・(8)

(3)(7)(8)より「ABより重くなるのせ方」は下記求められる。

63 - 3 - 16 = 44(通り)

答え:(1)3459489579 (2)16通り (3)44通り

ポイント

  • 場合分けをする時には、すべてのパターンを表現できているかを間違えないようにする。
  • (3)については、(1)(2)の答えを利用して「全体の組み合わせ」から「A、Bの重さが等しくなるようなのせ方」と「BがAより重くなるのせ方」を引くという考えで求める。
  • 「Bにも少なくとも1個の分銅をのせるもの」という条件を忘れないようにする。

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