東京都市大学等々力中学 算数 中学入試 過去問題 令和4年度版 一般入試 S特選コース（第1回） 問5 ニュートン算

水道管Aと水道管Bと排水管Cの給水・排水の時間を素因数分解し最小公倍数を求め、各水槽をいっぱいにする（すべて排水する）仕事量を求める。

水道管A = 32 = 25	2	22	22
水道管B = 24 = 23 × 3	2	22		3
排水管C = 10 = 2 × 5	2				5
水槽をいっぱいにする（すべて排水する）仕事量 A、B、Cの最小公倍数 = 25 × 3 × 5 = 480	2	22	22	3	5

上記より、「水槽をいっぱいにする仕事量」を480とする。

また、A、B、Cの1分間あたりの仕事量は480 ÷ それぞれかかった時間で計算できるが、それは、上記素因数分解の表の空欄の積と同値になる。

Aの1分間あたりの仕事量 = 3 × 5 = 15	2	22	22	3	5
Bの1分間あたりの仕事量 = 22 × 5 = 20	2	22	22	3	5
Cの1分間あたりの仕事量 = 24 × 3 = 48	2	22	22	3	5
水槽をいっぱいにする（すべて排水する）仕事量 = 480	2	22	22	3	5

ここで、Aだけが開いている時間とBだけが開いている時間の比が1 : 2になるので、Aが1分間働いた時のAとBの仕事量の比は下記表せる。

Aが1分間働いた時の仕事量の比 A : B = 15 : 20 × 2 = 15 : 40

よって「Aが1分間働いたときのAとBの仕事量の合計」は下記表せる。

15 + 40 = 55

よって「Aを開けていた時間」は「水槽をいっぱいにする（すべて排水する）仕事量」を上記「Aが1分間働いた時仕事量の合計」で割ることで求められる。

480 ÷ 55 = 96/11(8と8/11)(分間)

水槽がいっぱいの状態で、「A、B、Cを同時に開けた時の1分間の仕事量」は下記表せる。

15 + 20 - 48 = - 13

よって水槽がいっぱいの状態で、「A、B、Cを同時に開けた時に空になる時間」は下記求められる。

480 ÷ 13 = 480/13(36と12/13)(分間)

Aだけが開いていた時間とBだけが開いていた時間と、2本とも開いていた時間の比が2 : 3 : 4なので、仕事量の比は下記表せる。

Aのみの仕事量 : Bのみの仕事量 : AとB同時に開いた仕事量

= 15 × 2 : 20 × 3 = ( 15 + 20 ) × 4

= 30 : 60 : 35 × 4 = 30 : 60 : 140

よって「2本とも開いていた仕事量」は下記求められる。

( 480 × 140 ) / ( 30 + 60 + 140 ) = 480 × 140 / 230 = 480 × 14 / 23

よって「2本とも開いていた時間」は「2本とも開いていた仕事量」を「AとB同時が1分間働いた時仕事量の合計」で割ることで求められる。

( 480 × 14 / 23 ) ÷ ( 15 + 20 ) = ( 480 × 14 / 23 ) ÷ 35 = 192/23(8と8/23)(分間)

答え：(1)96/11(8と8/11)分間 (2)480/13(36と12/13)分間 (3)192/23(8と8/23)分間