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倍数判定法とは
倍数判定法とは、大きな数字を「わざわざ割り算せずに、その特徴（末尾や各位の和）だけで何の倍数かを見抜く」技術です。
中学受験においては、単なる計算の時短テクニックにとどまらず、「複雑な分数の約分」、「割り切れる数を探す条件整理」、そして「巨大な数の余りを一瞬で出す」といった、難問を解くための強力な武器（フィルター）として活用されます。
この手法を習得することで、数字をただの羅列ではなく、どのような要素（素因数）で構成されているかという「数の正体」を読み解く力が身につきます。
「下けた」を見る判定法（2, 4, 5, 8の倍数）
これらの判定法は、「10, 100, 1000がその数で割り切れること」を利用しています。
2の倍数の判定法：一の位が偶数（0, 2, 4, 6, 8）
対象の整数の一の位が偶数（0, 2, 4, 6, 8）の場合、対象の整数は2の倍数といえる。
「2の倍数→偶数」であるため、一の位が「0, 2, 4, 6, 8」であれば元の数は「2の倍数」といえます。
【例】
128→一の位が8なので偶数
123→一の位が3なので偶数
\( \displaystyle 808 = \color{red}{2 \times 404 \quad \text{（2の倍数）}} \)
\( \displaystyle 528 = \color{red}{2 \times 264 \quad \text{（2の倍数）}} \)
\( \displaystyle 357 = \color{red}{\text{（2の倍数ではない）}} \)
5の倍数の判定法：一の位が 0 か 5
対象の整数の一の位が0か5の場合、対象の整数は5の倍数といえる。
整数を 「\(10 \times (\text{十の位より上の数}) + (\text{一の位})\)」 と分解して考えます。
\(10 \times a + b\)
10 × aの部分：10は \(5 \times 2\) なので、10の倍数は必ず5で割り切れます。つまり、十の位より上の数字が何であっても、この部分は判定に影響しません。
b（一の位）の部分：ここが5で割り切れれば、数全体も5の倍数となります。1けたの数で5で割り切れるのは 0 または 5 だけです。
【例】
435→一の位が5なので435は5の倍数
439→一の位が9なので439は5の倍数ではない
\( \displaystyle 299 = \color{red}{\text{（5の倍数ではない）}} \)
\( \displaystyle 155 = \color{red}{5 \times 31 \quad \text{（5の倍数）}} \)
\( \displaystyle 600 = \color{red}{5 \times 120 \quad \text{（5の倍数）}} \)
4の倍数の判定法：下2けたが 4の倍数（または 00）
対象の整数の下2けたが4の倍数 または 00の場合、対象の整数は4の倍数といえる。
4けたの整数を \(1000 \times a + 100 \times b + 10 \times c + d\) とします。
\(1000 \times a + 100 \times b + 10 \times c + d = \color{blue}{100 \times (10 \times a + b)} + \color{red}{(10 \times c + d)}\)
\(100 = 4 \times 25\) なので、前半の \(\color{blue}{100 \times (10 \times a + b)}\) は必ず4で割り切れます。
つまり、残った下2けたの \(\color{red}{(10 \times c + d)}\) が4で割り切れれば、数全体が4の倍数となります。
【例】
3724→下2けたが\(24 = 4 \times 6\)なので3724は4の倍数
3734→下2けたが34（4の倍数でない）なので3734は4の倍数ではない
\( \displaystyle 3,608 = \color{red}{4 \times 902 \quad \text{（4の倍数）}} \)
\( \displaystyle 5,200 = \color{red}{4 \times 1,300 \quad \text{（4の倍数）}} \)
\( \displaystyle 1,073 = \color{red}{\text{（4の倍数ではない）}} \)
8の倍数の判定法：下3けたが 8の倍数（または 000）
対象の整数の下3けたが8の倍数 または 000の場合、対象の整数は8の倍数といえる。
4けたの整数を \(1000 \times a + 100 \times b + 10 \times c + d\) とします。
\(1000 \times a + 100 \times b + 10 \times c + d = \color{blue}{1000a} + \color{red}{(100 \times b + 10 \times c + d)}\)
\(1000 = 8 \times 125\) なので、前半の \(\color{blue}{1000a}\) は必ず8で割り切れます。
つまり、残った下3けたの \(\color{red}{(100 \times b + 10 \times c + d)}\) が8で割り切れれば、数全体が8の倍数となります。
【例】
7184→下3けたが\(184= 8 \times 23\)なので7184は8の倍数
7338→下3けたが338（8の倍数でない）なので7338は8の倍数ではない
\( \displaystyle 70,317 = \color{red}{\text{（8の倍数ではない）}} \)
\( \displaystyle 49,984 = \color{red}{8 \times 6,248 \quad \text{（8の倍数）}} \)
\( \displaystyle 70,200 = \color{red}{8 \times 8,775 \quad \text{（8の倍数）}} \)
3の倍数、9の倍数の判定法：「各位の和」を見る
3の倍数、9の倍数は、「10や100を、1引いて9や99にする」という工夫を使います。
対象の整数の各位の和が3の倍数、9の倍数の場合、対象の整数は3の倍数、9の倍数といえる。
3けたの整数を \(100 \times a + 10 \times b + c\) とします。
= (99 + 1) \times a + (9 + 1) \times b + c \\[1em]
= 99 \times a + a + 9 \times b + b + c \\[1em]
= (99 \times a + 9 \times b) + (a + b + c) \\[1em]
= \color{blue}{9 \times (11 \times a + b)} + \color{red}{(a + b + c)}\)
\(\color{blue}{9 \times (11 \times a + b)}\) は3の倍数, 9の倍数です。したがって、余った \(\color{red}{(a + b + c)}\)（各位の和）が3の倍数, 9の倍数なら、全体も3の倍数, 9の倍数になります。
【例】
12345→各位の和が\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)。15は3の倍数なので12345は3の倍数。15は9の倍数ではないので12345は9の倍数ではない。
98764→各位の和が\(9 + 8 + 7 + 6 + 4 = 34\)。34は3の倍数でも9の倍数でもないので98764は3の倍数でも9の倍数でもない。
\( \displaystyle 441,702 = \color{red}{9 \times 49,078 \quad \text{（9の倍数）}} \)
\( \displaystyle 451,827 = \color{red}{9 \times 50,203 \quad \text{（9の倍数）}} \)
\( \displaystyle 943,514 = \color{red}{\text{（9の倍数ではない）}} \)
3の倍数、9の倍数の判定法（高速版）
大きな数になればなるほど、足し算は時間がかかりミスも増えます。 そこで、「各位のうち『3と6と9』以外のあまりの和」を見るという、より速くて正確な方法をマスターしましょう！
対象の整数の各位のうち『3と6と9』以外のあまりの和」が3の倍数、9の倍数の場合、対象の整数は3の倍数、9の倍数といえる。
例えば、ある数Nが \(3642 = 3,000 + 600 + 40 + 2\)だったとします。
これを3で割ったときのことを考えると、
\(N = (3 \times 1000) + (3 \times 200) + (3 \times 13 + 1) + 2\)
\(3 \times 1000\) や \(3 \times 200\) は、最初から3で割り切れるので、全体の余りには影響しません。だから「無視していい」のです。
結局、3で割り切れない部分（余り）の合計だけをチェックすれば十分なのです。
余りの合計 \(= 0 + 0 + 1 + 2 = 3\) ⇒あまりの和が3で割り切れるので元の数3642は3の倍数といえる。
\( \displaystyle 613,446,188,568 = \color{red}{3 \times 204,482,062,856 \quad \text{（3の倍数）}} \)
\( \displaystyle 216,458,242,236 = \color{red}{3 \times 72,152,747,412 \quad \text{（3の倍数）}} \)
\( \displaystyle 272,332,569,653 = \color{red}{\text{（3の倍数ではない）}} \)
11の倍数の判定法：「交互に和と差」をとる
11の倍数は、「10や1000を、1足して11や1001にする」または「100から1を引いて99にする」という考え方を使います。
- 「偶数番目の位」にある数字をすべて足す。
- その2つの和の「差」を求める。
- その差が 0 または 11の倍数 であれば、元の数は11の倍数である。
4けたの整数を \(1000 \times a + 100 \times b + 10 \times c + d\) とします。
= (1001 - 1) \times a + (99 + 1) \times b + (11 - 1) \times c + d \\[1em]
= 1001 \times a - a + 99 \times b + b + 11 \times c - c + d \\[1em]
= (1001 \times a + 99 \times b + 11 \times c) + (-a + b - c + d) \\[1em]
= \color{blue}{11 \times (91 \times a + 9 \times b + c)} + \color{red}{(b + d) - (a + c)}\)
\(\color{blue}{11 \times (91 \times a + 9 \times b + c)}\) は11の倍数です。したがって、余った \(\color{red}{(b + d) - (a + c)}\)すなわち「偶数番目の和」と「奇数番目の和」の差が0または11の倍数であれば、全体も11の倍数になります。
【例】
12345674→「偶数番目の和」1+3+5+7=16と「奇数番目の和」2+4+6+4=16で、差が0なので12345674は11の倍数
\( \displaystyle 719,095 = \color{red}{\text{（11の倍数ではない）}} \)
\( \displaystyle 831,655 = \color{red}{11 \times 75,605 \quad \text{（11の倍数）}} \)
\( \displaystyle 261,932 = \color{red}{11 \times 23,812 \quad \text{（11の倍数）}} \)
7、11、13の倍数判定法：3けた区切り法
7、11、13には、「\(7 \times 11 \times 13 = 1001\)」という非常に重要な計算結果があります。これを利用した判定法です。
- 整数を、一の位から3けたずつに区切る。
- 区切られた数を、後ろから順に「足す・引く・足す・引く…」と交互に計算する。
- その計算結果が 0 または 7, 11, 13 のいずれかで割り切れれば、もとの数もその数で割り切れる。
8桁の整数を、下から3けたずつのブロック \(X, Y, Z\) に分けます。
（例：\(16,049,371\) なら、\(X=371, Y=049, Z=16\)）
この数は、以下のように数式で表せます。
= (1001 \times 999 + 1) \times Z + (1001 - 1) \times Y + X \\[1em]
= (1001 \times 999 \times Z + 1001 \times Y) + (Z - Y + X) \\[1em]
= \color{blue}{1001 \times (999 \times Z + Y)} + \color{red}{(Z - Y + X)}\)
\(\color{blue}{1001 \times (999 \times Z + Y)}\) は7×11×13（1001）の倍数です。したがって、余った \(\color{red}{(Z - Y + X)}\)が7、11、13のいずれかの倍数であれば、元の数もその倍数といえる。例の場合、\(\color{red}{Z - Y + X=16-49+371=338=13×13×2}\)で、13の倍数なので元の数16,049,371は13の倍数といえる。
\( \displaystyle 81,777,696 = \color{red}{1001 \times 81,696 \quad \text{（1001の倍数）}} \)
\( \displaystyle 20,694,471 = \color{red}{\text{（1001の倍数ではない）}} \)
\( \displaystyle 75,390,315 = \color{red}{1001 \times 75,315 \quad \text{（1001の倍数）}} \)
