三田国際科学学園中学 算数 2025年度入学試験問題(第1回) 問4 整数の思考問題

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1 問題
2 解答・解説

三田国際科学学園中学算数 2025年度入学試験問題(第1回) 問4 整数の思考問題の過去問解答・解説です。

問題

\( \displaystyle 2025 = 45 \times 45 \)のように、同じ整数同士を2回かけた数を平方数といいます。

(1)平方数の一の位の数に現れる数をすべて答えなさい。

2025の百の位の数を取り除いてできる3けたの整数225は平方数です。

ここで、4けたの整数の十の位の数を取り除いてできる3けたの整数が平方数になるものを考えます。ここからは、十の位の数が\( \displaystyle \alpha \)である2けたの整数を\( \displaystyle \alpha \text{□} \)で表すこととします。例えば、十の位の数3である2けたの整数は\( \displaystyle 3 \text{□} \)と表します。

(2)\( \displaystyle 3\text{□} \times 3\text{□} \)が4けたの整数になるような数のうち、\( \displaystyle \text{□} \)に入る最も小さい数を求めなさい。ただし、\( \displaystyle \text{□} \)には同じ数が入ります。

(3)\( \displaystyle 3\text{□} \times 3\text{□} \)が4けたの整数になり、その4けたの数の十の位の数を取り除いてできる3けたの整数も平方数になるような数を、次のように求めました。アからオに入る数を答えなさい。ただし、\( \displaystyle \text{□} \)には同じ数が入ります。

【求め方】

\( \displaystyle 3\text{□} \times 3\text{□} \)が4けたの整数になるとき、\( \displaystyle \text{□} \)に入るもっとも大きい数は9である。

4けたの整数\( \displaystyle 39 \times 39 \)の十の位の数を取り除いてできる数はアである。

もし\( \displaystyle 3\text{□} \times 3\text{□} \)が4けたの整数になり、その数の十の位を取り除いてできる数が平方数になるならば、考えられる平方数の候補は(2)とアより121とイに限られる。

121の一の位の数は1なので、\( \displaystyle \text{□} \)として考えられるのは1か9である。

イの一の位の数はウなので、\( \displaystyle \text{□} \)として考えられるのはエかオである。

\( \displaystyle \text{□} \)が1、9、エのとき、\( \displaystyle 3\text{□} \times 3\text{□} \)に対して、十の位の数を取り除いた数は平方数ではない。

\( \displaystyle \text{□} \)がオのとき、\( \displaystyle 3\text{□} \times 3\text{□} \)に対して、十の位の数を取り除いた数は平方数である。

よって、\( \displaystyle 3\text{□} \times 3\text{□} \)に対して、十の位の数を取り除いた数が平方数になるものは\( \displaystyle 3\fbox{オ} \times 3\fbox{オ} \)に限る。

(4)(3)の求め方をもとにして、\( \displaystyle 5\text{□} \times 5\text{□} \)で表される平方数のうち、十の位の数を取り除いてできる3けたの整数が平方数になるものを、「\( \displaystyle 5\text{□} \times 5\text{□} \)」の形ですべて答えなさい。ただし、\( \displaystyle \text{□} \)には同じ数が入ります。また、そのような数が存在しない場合は「ない」と答えなさい。どのように考えたかも合わせて説明しなさい。
引用元:三田国際科学学園中学校 2025年度入学試験問題(第1回) 算数問4

解答・解説

※解説未掲載

答え：(1)0、1、4、5、6、9 (2)2 (3)ア:151 イ:144 ウ:4 エ:2 オ:8 (4)\(\displaystyle 59 \times 59 = 3491\)なので10の位を取り除いた341なので、考えられる平方数の候補は「256，289、324」に限られる。一の位が「6、9、4」なので、\(\displaystyle \text{□}\)の候補は、6、3、2、8である。それぞれ検証すると、\(\displaystyle 56 \times 56 = 3136\)→不適、\(\displaystyle 53 \times 53 = 2809\)→289なので○、\(\displaystyle 52 \times 52 = 2704\)→不適、\(\displaystyle 58 \times 58 = 3364\)→不適。よって答えは「\(\displaystyle 53 \times 53\)」。

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