東大寺学園中学 算数 2023年度入学試験問題 問4 数の性質の過去問解答・解説です。
問題
(1)4けたの整数について、次の性質(P)を考えます。
性質(P) 千の位の数を十の位の数、百の位の数を一の位の数とする2けたの整数で割り切れる。
例えば、
1900=19×100、1352=13×104
ですから、1900や1352は性質(P)を満たします。
性質(P)を満たす4けたの整数の中で2023以下のものは全部で何個ありますか。
(2)4けたの整数について、次の性質(Q)を考えます。
性質(Q) 百の位の数を十の位の数、十の位の数を一の位の数とする2けた以下の整数で割り切れる。
例えば、
6786=78×87、6076=7×868
ですから、6786や6076は性質(Q)を満たします。
これらの例のように、千の位と一の位がともに6であり、性質(Q)を満たすような4けたの整数は全部で何個ありますか。
(3)4けたの整数について、次の性質(R)を考えます。
性質(R) 十の位の数を十の位の数、一の位の数を一の位の数とする2けた以下の整数で割り切れる。
最初に2けたの整数を1つ選んで、その整数の十の位の数を千の位の数に、一の位の数を百の位の数とする4けたの整数をつくります。そして、その中で性質(R)を満たすものが何個あるかを考えます。例えば、最初に20を選んだときは、
2025=25×81、2008=8×251
ですから、2025や2008は性質(R)を満たします。
(ⅰ)上の例のように最初に選んだ2けたの整数が20のときは、性質(R)を満たす4けたの整数を全部で何個つくることができますか。
(ⅱ)すべての2けたの整数に対して、性質(R)を満たす4けたの整数がそれぞれ全部で何個つくられるかを考えたとき、その個数は最も少なくて何個ですか。また、そのときに最初に選んだ2けたの整数を求めなさい。
(ⅲ)すべての2けたの整数に対して、性質(R)を満たす4けたの整数がそれぞれ全部で何個つくられるかを考えたとき、その個数が(ⅱ)の答えより1個だけ多いような2けたの整数として考えられるものを小さい順に5個求めなさい。
引用元:東大寺学園中学校 2023年度入学試験問題 算数 問4
解答・解説
※解説未掲載
答え：(1)79個 (2)18個 (3)(ⅰ)12個 (ⅱ)8個、2けたの整数：25 (ⅲ)53、59、61、67、71
