青山学院横浜英和中学 算数 2022年度入学試験問題 A 問3 倍数と約数

11の倍数で最も小さい3けたの整数は下記表せる。

11 × 10 = 110・・・(1)

11の倍数で最も大きい3けたの整数は下記表せる。

11 × 90 = 990・・・(2)

(1)と(2)より、「3けたの整数の中で、11の倍数の個数」は下記求められる。

90 - 10 + 1 = 81(個)

17の倍数で最も小さい3けたの整数は下記表せる。

17 × 6 = 102・・・(3)

(3)より、「3けたの整数の中で、17番目に大きい17の倍数」は下記求められる。

102 + 17 × 16 = 102 + 272 = 374

「201201」は3桁ごとに同じ数になっているので、「7 × 11 × 13 = 1001」で割ることができるので下記表せる。

201201 = 7 × 11 × 13 × 201

「201」は「各位の数字の和(2 + 0 + 1 = 3)が3の倍数のため3の倍数」であるので、下記表せる。

201201 = 7 × 11 × 13 × 3 × 67・・・(4)

「36582」は偶数なので2で割れるので、下記表せる。

36582 = 2 × 18291

「18291」において「各位の数字の和(1 + 8 + 2 + 9 + 1 = 21)が3の倍数のため3、「18291」もの倍数」であるので、下記表せる。

36582 = 2 × 3 × 6097

「6097」において「一の位から3桁ずつ分けてグループを作り、(偶数グループの和)と(奇数グループの和)の差(97 - 6 = 91)が7と13の倍数のため、「6097」も7と13の倍数」であるので、下記表せる。

36582 = 2 × 3 × 7 × 13 × 67 ・・・(5)

(4)と(5)より「201201と36582の共通する約数」は「3、7、13、67」である。

ここで、(3 × 7 × 13 = 273) < (7 × 67 = 469)であることから、最大の公約数を作るには「67」は必須である。また、999 ÷ 67 < 14.9…より、残りの約数は14以下であるので残る「3、7、13」を使う中で最大の数は「13」。

よって「201201と36582の公約数の中で、最も大きい3けたの数」は下記求められる。

67 × 13 = 871

「同じ数字が2個だけ使われている3けたの整数」は、＜ の場合＞、＜ の場合＞、＜ の場合＞であるのでそれぞれ考える。

(6)～(8)より「同じ数字が2個だけ使われている3けたの整数」は下記求められる。

81 + 81 + 81 = 243(個)

答え：(1)81個 (2)374 (3)871 (4)243個