昭和学院秀英中学 算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問3 商と余りの過去問解答・解説です。
問題
(1)2桁の整数10、11、12、…、98、99について、7で割ったときの余りが1になる素数をすべて求めなさい。
(2)7で割ると2余る2桁の整数と7で割ると3余る2桁の整数がある。この2つの数の合計が5の倍数になるとき、2つの数の合計の中で2番目に小さい値を答えなさい。
(3)Aを7で割った余りがCで、Bを7で割った余りがDのとき、A × Bを7で割った余りはC × Dを7で割った余りに等しいことがわかっています。
10 × 10、11 × 11、12 × 12、…、98 × 98、99 × 99の整数について、7で割ったときの余りが1になる数の個数を求めなさい。
引用元:昭和学院秀英中学校 2022年度入学試験問題(第1回) 算数 問3
解答・解説
「2桁かつ7で割ったときの余りが1になる素数」は、「7n + 1(nは自然数)を満たす一番小さい2桁の奇数」を出し、「7の2倍である14を足し続けることで洗い出した奇数」の中から素数のものを洗い出して求める。
| 15 | 29 | 43 | 57 | 71 | 85 | 99 |
「2桁かつ7で割ったときの余りが1になる素数」は29、43、71である。
「7で割ると2余る2桁の整数」、「7で割ると3余る2桁の整数」であるので下記式が成り立つ。
( a > 1, b > 0を満たす整数 )・・・(1)
(7で割ると2余る2桁の整数) 7 × a + 2・・・(2)
(7で割ると3余る2桁の整数) 7 × b + 3・・・(3)
(2)と(3)より、「2つの数の合計」は下記表せる。
7 × a + 2 + 7 × b + 3
= 7 × ( a + b ) + 5・・・(4)
この時「2つの数の合計」は5の倍数なので、「a + bもまた5の倍数である」ので、a + bが5の倍数になる数を小さい順から考える。
＜a + b = 0の場合＞
a + b = 0の場合、a = b = 0となり、
(1)を満たさないため、不適
＜a + b = 5の場合＞
(3)にa + b = 5を代入する。
7 × 5 + 5 = 40
(1)と(2)にa = 2, b = 3を仮に代入する。
(1) 7 × 2 + 2 = 16
(2) 7 × 3 + 3 = 24
(1)を満たすため、該当する数は存在する。
よって「7で割ると2余る2桁の整数と7で割ると3余る2桁の整数の合計が5の倍数になるとき、2つの数の合計の中で2番目に小さい値」は下記求められる。
7 × 10 + 5 = 75
「A × Bを7で割った余りはC × Dを7で割った余りに等しい」ので「2桁整数を7で割った余りの平方数」と「その平方数を7で割った余り」を下記洗い出す。
| ①→2桁の整数 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ②→①を7で割った余り | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 |
| ③→②2 | 9 | 16 | 25 | 36 | 0 | 1 | 4 |
| ④→③を7で割った余り | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
13と15が該当の条件の数となり、7つごとの周期で現れる。
まず、「周期の数」を求める。2桁の整数は90あるので下記表せる。
90 ÷ 7 = 12(周期)あまり6
上記表の周期の中で4番目と6番目に該当の数が現れるので、あまり6の部分でも該当の数は2つ現れる。よって「10 × 10、11 × 11、12 × 12、…、98 × 98、99 × 99の整数について、7で割ったときの余りが1になる数の個数」は下記求められる。
( 12 + 1 ) × 2 = 26(個)
答え：(1)29、43、71 (2)75 (3)26個
「昭和学院秀英中学」に関連する過去問書籍
解説は無いけど解答はあり！数をこなしたい人におすすめ
関連サービス
「昭和学院秀英中学」の過去問記事
前の問題記事
次の問題記事