西大和学園中学 算数 2023年度入学試験問題 問4 円の性質

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1 問題
2 解答・解説

西大和学園中学算数 2023年度入学試験問題問4 円の性質の過去問解答・解説です。

問題

西さんと大和さんは、グラウンドでの体育祭の練習のために、図のように、石灰の粉で白線を引き、トラック全体の線を描きます。内側の太線部分を内周、外側の太線部分を外周と呼びます。細線部分は徒競走用にレーンを8レーンずつ、合計16レーン作るためのものです。1つのレーンの幅は1.25mです。太線部分に白線を引くためのラインカーPと、細線部分に白線を引くためのラインカーQの2種類を用います。Pを用いると1mあたり7gの石灰、Qを用いると1mあたり5gの石灰が費やされます。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、白線そのものの幅は考えないものとし、この問題においては円周率を\( \displaystyle \frac{22}{7} \)としなさい。

グラウンドのトラック

内周、外周は太線で、レーンを区切る線は細線で描きます。

四角形ABCDは長方形であり、横線はすべてADと平行です。

内周外周のまっすぐではない部分は半円の弧です。

点線は描きません。

(1)大和さんは、四角形ABCDが正方形で、トラックの内周が250mとなるように計算したところ、ADの長さが整数になりませんでした。そこで、内周の長さは250mにはなりませんが、ADの長さの小数第一位を四捨五入して、正方形の一辺の長さとしました。

①正方形の一辺の長さは何mですか。

②内周は何mになりますか。

③ABの長さはそのままに、ADの長さを変えて、内周がぴったり250mになるようにしました。このとき、ADの長さは何mですか。また、このトラック全体を描くために必要な石灰は何gですか。

(2)大和さんはADの長さを60mにし、内周が250mになるように計算したところ、ABの長さが整数になりませんでした。内周が250mに最も近くなるような、整数をABの長さとしました。トラックを描き終えてから確認すると、使った石灰の量は8400gであり、一部に間違った太さの線を引いたことに気がつきました。

①ABの長さは何mですか。

②次の文章において、(　)内については正しい方に○をつけ、　な値を入れて文章を完成させなさい。

「大和さんは本来(太・細)い線を引くべきところに、間違って(太・細)い線を　m引きました。」

(3)大和さんが引いた白線が雨で流れてしまい、西さんが下の規則で、白線を一から引き直すことになりました。

—規則—

AD、ABの長さをそれぞれうm、えmとします。ただし、うは30以上70未満の整数です。

えはうを決めたあと、内周が250mに最も近い長さとなる整数と決めます。えはうを決めると1つに決まります。

規則に従ってトラック全体を描いたところ、使用した石灰の量が7700g以下でした。うとして考えられる最も大きい整数を求めなさい。
引用元:西大和学園中学校 2023年度入学試験問題算数問4