市川中学 算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問5 規則性の思考問題

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1 問題
2 解答・解説

市川中学算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問5 規則性の思考問題の過去問解答・解説です。

問題

次のような操作を考えます。

操作 : ある数に対して、その数が10の倍数のときは10で割り、10の倍数でないときは3倍して2を加える。

この操作を繰り返し行うとき、次の問いに答えなさい。

(1)(i)1に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい。

(ii)2に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい。

(2)1から100までの数に対してこの操作を行うとき、10で割るという操作を1回も行わない数は何個ありますか。

(3)1から100までの数に対してこの操作を行うとき、10で割るという操作をちょうど1回だけ行う数は何個ありますか。
引用元:市川中学校 2022年度入学試験問題(第1回) 算数問5

解答・解説

「1に対してこの操作を5回行ったあとの数」を下記行う。

操作回数	はじめ	1回	2回	3回	4回	5回
値	1	5	17	53	161	485

よって、485

「2に対してこの操作を5回行ったあとの数」を下記行う。

操作回数	はじめ	1回	2回	3回	4回	5回
値	2	8	26	80	8	26

よって、26

問(1)-(i)の結果より、1桁目に注目すると＜1、3、5、7の場合＞、「1→5→7→3→1」で周期するので「10で割るという操作を1回も行わない数」である。・・・(1)

問(1)-(ii)の結果より、1桁目に注目すると＜0、2、6、8の場合＞、「10で割るという操作を必ず1回は行う数」である。・・・(2)

残りの＜1桁目が4の場合＞と＜1桁目が9の場合＞の場合を考える。

＜1桁目が4の場合＞

操作回数	はじめ	1回
1桁目の値	4	4

よって「4→4」で周期するので「10で割るという操作を1回も行わない数」である。・・・(3)

＜1桁目が9の場合＞

操作回数	はじめ	1回
1桁目の値	9	9

よって「9→9」で周期するので「10で割るという操作を1回も行わない数」である。・・・(4)

(1)、(3)、(4)より「10で割るという操作を必ず1回は行う数」は＜1桁目が1、3、4、5、7、9の数＞であるので下記求められる。

6 × 10 = 60(個)

問(3)の結果より「10で割るという操作をちょうど1回だけ行う数」は、＜1桁目が0、2、6、8の数＞を考える。

＜1桁目が0の場合＞

ここで2桁目に注目し1桁目同様場合分けをする。

＜2桁目が1、3、4、5、7、9の場合＞

例) 10

最初に10で割る操作を行いその後「10で割るという操作を1回も行わない数」になるので、「10で割るという操作を必ず1回は行う数」である。

＜2桁目が0、2、6、8の場合＞

例) 20

最初に10で割る操作を行いその後(2)より「10で割るという操作を必ず1回は行う数」になるので、不適。

よって題意を満たす数は6個・・・(5)

＜1桁目が2の場合＞

ここで1桁目が2の数字は下記式で表せる。

10 × a + 2(aは0～9の整数)

この数に操作を繰り返して1桁目が0になるまでを考える。

操作回数	はじめ	1回	2回	3回
値	10 × a + 2	30 × a + 8	90 × a + 20 + 6	270 × a + 80

ここで1桁目が0になった時(　のついた値)の2桁目のみに注目すると、下記式で表せる。

7 × a + 8

aは0～9の整数なのでそれぞれのaの値の時の2桁目の数を下記書き出す。

aの値	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2桁目の数	8	5	2	9	6	3	0	7	4	1

ここで問(2)の結果より、＜2桁目が1、3、4、5、7、9の数＞の時は、最初に10で割る操作を行いその後「10で割るという操作を1回も行わない数」になるので、「10で割るという操作を必ず1回は行う数」である。

例) a = 1の時「12→38→116→350→35」となり、それ以降は、「10で割るという操作を1回も行わない数」が繰り返される。

よって題意を満たす数は表の　がついている数なので6個・・・(6)

＜1桁目が6の場合＞

ここで1桁目が6の数字は下記式で表せる。

10 × a + 6(aは0～9の整数)

この数に操作を繰り返して1桁目が0になるまでを考える。

操作回数	はじめ	1回
値	10 × a + 6	30 × a + 20

ここで1桁目が0になった時(　のついた値)の2桁目のみに注目すると、下記式で表せる。

3 × a + 2

aは0～9の整数なのでそれぞれのaの値の時の2桁目の数を下記書き出す。

aの値	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2桁目の数	2	5	8	1	4	7	0	3	6	9

＜1桁目が2の場合＞同様なので題意を満たす数は表の　がついている数なので6個・・・(7)

＜1桁目が8の場合＞

ここで1桁目が8の数字は下記式で表せる。

10 × a + 8(aは0～9の整数)

この数に操作を繰り返して1桁目が0になるまでを考える。

操作回数	はじめ	1回	2回
値	10 × a + 8	30 × a + 20 + 6	90 × a + 80

ここで1桁目が0になった時(　のついた値)の2桁目のみに注目すると、下記式で表せる。

9 × a + 8

aは0～9の整数なのでそれぞれのaの値の時の2桁目の数を下記書き出す。

aの値	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2桁目の数	8	7	6	5	4	3	2	1	0	9

＜1桁目が2の場合＞同様なので題意を満たす数は表の　がついている数なので6個・・・(8)

(8)～(8)より「10で割るという操作をちょうど1回だけ行う数」は下記求められる。

6 + 6 + 6 + 6 = 24(個)

答え：(1)(i)485 (ii)26 (2)60個 (3)24個

ポイント

場合分けをする時には、すべてのパターンを表現できているかを間違えないようにする。
1桁目の数に注目して周期性に気づく。

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