獨協中学 算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問5 N進法の過去問解答・解説です。
問題
太郎君と先生が「3進法」について話しています。2人の会話文について、あとの問いに答えなさい。
先生 : 「今年は2022年。0と2だけで表されているね。」
太郎 : 「はい。でも、それがどうかしましたか?」
先生 : 「もし、この世界に数字が0と1と2の三種類だけだったらどうする?」
太郎 : 「え…、箘ります。だって、2より大きい数が表せないじゃないですか。」
先生 : 「そうだよね。でも、今だって0から9の十種類の数字しかないよね。」
太郎 : 「9の次は、10と表すから問題ないです。」
先生 : 「うん。10という数字は10の位に1、1の位に0を書いて表されるね。0から9の十種類の数字を使う数の表し方を『10進法』と言うよ。1の位、10の位、100の位、…と位の数は10倍ずつ増えているね。」
太郎 : 「じゃあ、0と12の三種類で数を表すのは『3進法』ということ?」
先生 : 「そう。1の位、3位、9の位、あの位、いの位、…と位の数は3倍ずつ増えていくよ。」
太郎 : 「じゃあ、10進法の3を3進法で表したければ、3の位に1、1の位に0で、『10』と表せるんですね。」
先生 : 「うん。他にも10進法の11であれば、11から9を1個取って、9の位は1。11-9×1=2で、2から3は取れないから、3の位は0。2-3×0=2で、2から1を2個取って、1の位は2。よって、10進法の11は、3進法だと『102』で表されるよ。」
太郎 : 「なるほど。これで数を10進法から3進法に変えられる①んだ。」
先生 : 「今度は逆に、3進法を10進法で表してみよう。3進法の『21』は、10進法だといくつになるかな?」
太郎 : 「3の位が2、1の位が1だから3×2+1×1=7。10進法だと7だ!」
先生 : 「数を3進法から10進法に変える②こともできたね。また、3進法以外にも、例えばコンピュータの世界では0から9の数字とA、B、C、D、E、Fの合計16文字を使った16進法が使われているよ。」
太郎 : 「そっか。『10』を表す数字は無いから、代わりにAを使うんだ。」
先生 : 「うん。16進法で考えると、26は16×1+1×10だから1Aとなるよ。小説『不思議の国のアリス』③の中にも、この考え方が出てくるから読んでみてね。」
(1)あといにあてはまる整数はそれぞれいくつですか。
(2)下線部①について、10進法で表された次の数を3進法で表しなさい。
(ア)16
(イ)100
(3)下線部②について、3進法で表された次の数を10進法で表しなさい。
(ア)12
(イ)2022
(4)下線部③の小説に次のようなアリスのセリフがあります。
「4かける5は12、4かける6は13、4かける7は―あれえ、これじゃいくらやっても20にならないじゃない。」(ルイス・キャロル、矢川 澄子 訳『不思議の国のアリス』新潮社より)
この文章を整理した次の表について、以下の問いに答えなさい。
(ア)表中の空欄うにあてはまる式を答えなさい。
(イ)4×8、4×9、...と続けていったとき、4×12が『19』となるところまでは規則的に答えが出るものの、4×13は『20』となりません。この理由を説明しなさい。
引用元:獨協中学校 2022年度入学試験問題(第1回) 算数 問5
解答・解説
※解説未掲載
答え：(1)あ:27 い:81 (2)ア:121 イ:10201 (3)ア:5 イ:62 (4)ア:24×1+1×4 イ:4×13=52 52を42進法で考えると52=42×1+1×10となり、10はAと表す。よって52は「1A」と表すため、20にならない。
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