田園調布学園中等部 算数 2022（令和4）年度 中等部入試 入試問題 問4 規則性のある数列

規則に準ずる分数の分母は3の倍数となっており、3の倍数を「3 × n(nは自然数)」とすると、n個ずつ小さい順に並んでいる。また、分子は「1から始まる交差1の等差数列」となっており、分母が変わるごとに1から始まっている。

33番目の分数は、1からnまでの等差数列の和より絞り込める。

n = 8の時、1からnまでの等差数列の和は下記表せる。

( 1 + 8 ) × 8 ÷ 2 = 36

33を超えてしまうので上記n = 7の時の1からnまでの等差数列の和を下記求める。

36 - 8 = 28・・・(1)

よって、n = 7の分数群から、更に33から28を引いた5つ進んだ位置の分数になる。

よって分母は3 × 8 = 24、分子は5になり、「はじめから数えて33番目の分数」は5/24

分母が81なので、81 ÷ 3 = 27より、n = 27の分数群の分数となるので、何番目かは下記表せる。

始めに、n = 26の分数群が何番目かを1から26までの等差数列の和より下記求める。

( 1 + 26 ) × 26 ÷ 2 = 351

ここから更に4つ進んだ位置の分数になるので、「4/81は、はじめから数えて」351 + 4 = 355番目

「大きさが1/3と等しい分数が20回目に現れる」ということは、n = 20の分数群の分数となりその時の分子は、20 × 3 ÷ 3 = 20より20となる。よって、何番目かは下記表せる。

始めに、n = 19の分数群が何番目かを1から19までの等差数列の和より下記求める。

( 1 + 19 ) × 19 ÷ 2 = 190

ここから更に20つ進んだ位置の分数になるので、「大きさが1/3と等しい分数が20回目に現れる」のは、はじめから数えて190 + 20 = 210番目

「大きさが1/4と等しい分数」ということは、分母が3と4の最小公倍数である12の倍数になるときとなる。よって、「大きさが1/4と等しい分数が20回目に現れる」ということは、n = 20 × 4 = 80の分数群の分数となりその時の分子は、80 × 3 ÷ 4 = 60より60となる。よって、何番目かは下記表せる。

始めに、n = 79の分数群が何番目かを1から79までの等差数列の和より下記求める。

( 1 + 79) × 79 ÷ 2 = 3160

ここから更に60つ進んだ位置の分数になるので、「大きさが1/4と等しい分数が20回目に現れる」のは、はじめから数えて3160 + 60 = 3220番目

答え：(1)5/24 (2)355番目 (3)①210番目 ②3220番目