逗子開成中学 算数 2023年度入学試験問題(第1回) 問5 倍数と約数

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1 問題
2 解答・解説

逗子開成中学算数 2023年度入学試験問題(第1回) 問5 倍数と約数の過去問解答・解説です。

問題

太郎さんと花子さんは整数の約数の個数について話し合っています。2人の会話を読んで、次の各問いに答えなさい。ただし、整数Mの約数の個数を≪M≫という記号で表すことにします。

太郎 : 花子さん、いろいろな数の約数の個数を調べてみようよ。

花子 : じゃあ、7、15、56の3つの数について考えてみましょう。

太郎 : 7の約数は、「1と7」だから...≪7≫=2になるね。
15の約数は「1、3、5、15」だから...≪15≫=4になるね。
56の約数は、「1、2、4、7、8、28、56」だから...≪56≫=7かな?

花子 : 太郎さん、56の約数を1つ見落としてるよ!
わたしは見落としがないように、求めた約数どうしでペアを組んでかけ算をして、56になることを確認しているんだ!
1×56、2×28、4×?、7×8
4の相手がいないから14を見落としているよ。だから、≪56≫=8だよ。

太郎 : そうか!約数を見つけるには、約数どうしペアを組んでいけばわかりやすいね!そうすると、いままで調べた整数の約数には必ずペアができているから、どんな整数でも約数の個数は、偶数になるね。

花子 : 本当にそうかな...例えば、≪36≫は...≪36≫=9になるよ!

太郎 : なんで偶数にならないんだろう。(ア)約数の個数が奇数になるのはどのようなときなんだろう...

(1)≪180≫の値を求めなさい。

(2)≪M≫=4になる整数Mのうち、6番目に小さい整数Mを求めなさい。

(3)文中の下線部(ア)を参考にして、≪M≫=7になる900未満の整数Mのうち、最も大きい整数を求めなさい。
引用元:逗子開成中学校 2023年度入学試験問題(第1回) 算数問5