広尾学園中学 算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問2 順列・組み合わせ・場合の数の過去問解答・解説です。
問題
3から6までの整数が書かれた4枚のカード3、4、5、6があります。この中から3枚のカードを取り出して、3けたの整数を作ります。次の問いに答えなさい。
(1)全部で何通りありますか。
(2)3の倍数であるものは何通りありますか。
(3)作った3けたの整数を残りのカードに書かれた整数で割ったとき、割り切れるものは何通りありますか。
引用元:広尾学園中学校 2022年度入学試験問題(第1回) 算数 問2
解答・解説
「4枚のカード異なるから3枚のカードを取り出して、3けたの整数」を並びかえて作るので下記求められる。
4P3 = 4 × 3 × 2 = 24(通り)
3の倍数である条件は、「各位の数字の和が3の倍数であれば元の数は3の倍数」である。ここで4枚すべてのカードの和が3 + 4 + 5 + 6 = 18で3の倍数なので、ここから1枚カードを除外するとした時、除外するカードが3の倍数でない場合、作った3枚のカードの合計も3の倍数にはならない。よって3の倍数である「3、6」を除外したカードで作った3桁の整数が3の倍数になるため、下記求められる。
3P2 × 2 = 3 × 2 × 2 = 12(通り)
「作った3けたの整数を残りのカードに書かれた整数で割ったとき、割り切れるもの」を考えるには、残りのカードでそれぞれ場合分けをして考える。
＜残りのカードが3の場合＞
3桁の整数のカードは、4 5 6
- (2)で求めたように、3桁の整数も3の倍数である。
よって全ての場合が割り切れるため下記表せる。
3P2 = 3 × 2 = 6(通り)・・・(1)
＜残りのカードが4の場合＞
3桁の整数のカードは、3 5 6
4の倍数である条件は、「下2桁が4の倍数」である。
- 3 5 6、5 3 6の2通り
よって 2(通り)・・・(2)
＜残りのカードが5の場合＞
3桁の整数のカードは、3 4 6
5の倍数である条件は、「下1桁が5か0」であるので、3 4 6では作れない。
＜残りのカードが6の場合＞
3桁の整数のカードは、3 4 5
6の倍数である条件は、「3の倍数の条件かつ2の倍数の条件を満たす」である。
- (2)で求めたように、3桁の整数も3の倍数である。
- 2の倍数にするためには、1桁目が4の1通り
- 2～3桁目 5 6の並びかえ : 2P1 = 2(通り)
よって下記表せる。
1 × 2 = 2(通り)・・・(3)
(1)～(3)より「作った3けたの整数を残りのカードに書かれた整数で割ったとき、割り切れるもの」は下記求められる。
6 + 2 + 2 = 10(通り)
答え：(1)24通り (2)12通り (3)10通り
ポイント
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