広尾学園中学 算数 2022年度入学試験問題(第1回) 問4 倍数と約数

「分子と分母の和が2022になる分数」なので、分母をn(nは自然数)とすると、題意の分数を下記表せる。

( 2022 - n ) / n = 5

この式を整理すると下記nを求められる。

2022 - n = 5 × n

6 × n = 2022

n = 337

( 2022 - n ) / nが整数になるということは、分子である( 2022 - n )が分母nの倍数でなくてはならない。

すなわち「2022」がnの倍数でなくてはならないので、「nは2022の約数である」と言い換えらえる。

また、約分して整数にならなければならないため、nの範囲は下記表せる。

n ≦ 2022 - n

この式を整理すると下記の範囲を表せる。

n ≦ 2022 - n

n × 2 ≦ 2022

n ≦ 1011・・・(1)

2022を素因数分解すると下記表せる。

2022 = 2 × 3 × 337

ここで(1)を満たす2022の約数は下記求められる。

「1」「2」「3」「2 × 3」「337」「2 × 337」「3 × 337」の7個。

整数部分が1となる分数をaとするとaの範囲は下記表せる。

1 ≦ a < 2・・・(2)

ここで、

( 2022 - n ) / n = 1

2022 - n = n

n × 2 = 2022

n = 1011・・・(3)

( 2022 - n ) / n = 2

2022 - n = 2

n × 3 = 2022

n = 674・・・(4)

(2)～(4)より、nの範囲は下記表せる。

674 < n ≦ 1011

よって、「題意の分数のうち整数部分が1となる分数」は下記表せる。

1011 - 675 + 1 = 337(個)

答え：(1)337 (2)7個 (3)337個