開智中学 算数 2022年度入学試験問題(先端1) 問4 数列の過去問解答・解説です。
問題
1周300mのトラックがあり、A君はスタート地点から出発し、左回りに進みます。
A君は次のように小石を置いていきます。
1回目 : 2m進んで小石を置く。
2回目 : 1回目に小石を置いた地点から4m進んで小石を置く。
3回目 : 2回目に小石を置いた地点から6m進んで小石を置く。
…
このように、毎回進む距離を2mずつ増やして小石を置いていきます。
(1)10回目に小石を置いたとき、A君はスタート地点から何m進んでいますか。
(2)1周してスタート地点に戻ってくるまでに、小石は何回置いていますか。ただし、ちょうどスタート地点に小石を置く場合はその小石も回数に数えます。
(3)初めてスタート地点に小石を置くのは、何回目に小石を置いたときですか。
引用元:開智中学校 2022年度入学試験問題(先端1) 算数 問4
解答・解説
「2」ずつ増える等差数列になっているので、「10回目に小石を置いたとき、A君はスタート地点から何m進んでいるか」は、等差数列の和の公式より下記求められる。
( 2 + 2 × 10 ) × 10 ÷ 2 = 110(m)
1周してスタート地点に戻ってくるまでの周数をn(nは自然数)とすると、等差数列の和の公式より下記式が成り立つ。
( 2 + 2 × n ) × n ÷ 2 ≦ 300
n2 + n ≦ 300・・・(1)
ここでn2が300以下の近しい数字を考える。
172 = 289のため、17から考える。
＜n = 17の場合＞
n2 + n = 289 + 17 = 306のため、(1)を満たさない。
＜n = 16の場合＞
n2 + n = 256 + 16 = 271のため、(1)を満たす。よって、次のn = 17の時にスタート地点に戻る。
よって、「1周してスタート地点に戻ってくるまでに、小石は何回置いてるか」は、16(個)
「初めてスタート地点に小石を置く回数」を求めるとき、等差数列の和の公式より下記式が成り立つ。
(n, mは自然数)
( 2 + 2 × n ) × n ÷ 2 = 300 × m
n2 + n = 300 × m
上記式が成り立つ自然数nとmを考える。m = 1は(2)より成り立たないので、m = 2より考える。
＜m = 2の場合＞
n2 + n = 600・・・(2)
ここでn2が600に近しい数字を考える。
252 = 625のため、24から考える。
＜n = 24の場合＞
242 + 24 = 576 + 24 = 600
よって(2)の式が成り立つ。
よって「初めてスタート地点に小石を置く回数」は24(回目)
答え：(1)110m (2)16回 (3)24回目
ポイント
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