三田国際科学学園中学 算数 2023年度入学試験問題(第1回) 問4 順列・組み合わせ・場合の数の過去問解答・解説です。
問題
中身の見えない箱に1から9の数が書かれた9個の玉が入っています。三田くんはこの箱からいくつかの玉を取り出します。取り出した玉に書かれた数が三田くんの得点となり、取り出した玉の個数でその得点を割った1個あたりの平均点を算出します。例えば、1が書かれた玉と7が書かれた玉を取り出すと得点は8点で、平均は4点です。
(1)三田くんが箱から同時に3個の玉を取り出すとき、平均が4点となる玉の取り出し方は何通りありますか。
(2)平均を5点以上にしたい三田くんは、箱の中からあらかじめ2個の玉を選んで取り出しておき、3個目だけを残りの7個の中から取り出すことにしました。三田くんが3個目にどのような玉を取り出したとしても、必ず平均が5点以上になるためには、最初にどのような2個の玉を取り出せばよいか、具体的にすべて答えるか言葉で説明しなさい。
次に三田くんは、9個の玉が入った箱から玉を1個取り出して得点を記録してから、元にもどす操作を25回くり返しました。このとき、取り出した玉に書かれた数とその玉が取り出された回数は次の表のようになりました。
(3)25回の操作の平均が5.04点であるとき、表のア、イ、ウにあてはまる数の組をすべて答えなさい。ただし、どのように考えたかも合わせて答えなさい。
引用元:三田国際科学学園中学校 2023年度入学試験問題(第1回) 算数 問4
解答・解説
※解説未掲載
答え：(1)7通り (2)最初に取り出す2個の玉の合計が14以上 (3)25回の操作の平均点が5.04点なので、総得点は 5.04×25=126点である。取り出された回数の合計が25回なので、1+ア+2+1+イ+4+1+3+ウ=25 より、ア+イ+ウ=13 …(1)。総得点の式は、1×1+2×ア+3×2+4×1+5×イ+6×4+7×1+8×3+9×ウ=126 より、2×ア+5×イ+9×ウ=60 …(2)。(1)×2-(2)より3×ア-4×ウ =5。4×ウは偶数なので、3×アは奇数でなければならない、また右辺が5よりア > 2の奇数ア=3の時、ウ=1で成り立つ。ア=5の時、ウに当てはまる数が無いため不適。ア=7の時、ウ=4で成り立つ。ア=9の時、不適かつウは5以上でなければならなく合計が13を超えてしまうのでここで終了。よって(ア、イ、ウ = 7、2、4)、(ア、イ、ウ = 3、9、1)
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