桐朋中学 算数 2021年度入学試験問題(第1回) 問7 条件の読み解きの過去問解答・解説です。
問題
Nは1より大きい整数とします。分数\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{N} \right\rangle \)に次のような操作をくり返し行い、その結果が1になるまで続けます。
操作
分数の分子に1を加え、約分できるときは約分する。
この操作を行った回数を\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{N} \right\rangle \)で表すことにします。たとえば、\(
\displaystyle N=12
\)のとき、\( \displaystyle \frac{1}{12}\) → \( \displaystyle \frac{1+1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) → \( \displaystyle \frac{1+1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) → \( \displaystyle \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}\) → \( \displaystyle \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \)
となるので、\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{12} \right\rangle = 4 \)です。(1)次の値を求めなさい。
①\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{5} \right\rangle \) ②\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{16} \right\rangle \)
(2)\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{N} \right\rangle = 2 \)となるようなNを求めなさい。考えられるものをすべて書きなさい。
(3)\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{N} \right\rangle = 6 \)となるようなNを求めなさい。考えられるものをすべて書きなさい。
引用元:桐朋中学校 2021年度入学試験問題(第1回) 算数 問7
解答・解説
「中学受験算数を攻略する WISARDNET」様解説動画
解説動画のように数え上げてもいける数量だけれど、各素因数を「その素因数 - 1」の試行数で消していることに気づければ論理的に速く解くことが可能。つまり「各素因数 -1」の和が答えとなる。
①N = 5 → (素因数：5) → (各素因数 - 1の和：4)
(1)①4
②N = 16 → (素因数：2、2、2、2) → (各素因数 - 1の和：1 + 1 + 1 + 1 = 4)
(1)②4
\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{N} \right\rangle = 2 \) 各素因数 - 1の和を2にするには、約数のパターンとして、「3」か「2 × 2」
(2)3、4
\( \displaystyle \left\langle \frac{1}{N} \right\rangle = 6 \) 各素因数 - 1の和を6にするには、約数のパターンとしては下記。
- 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
- 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
- 2 × 2 × 3 × 3 = 36
- 3 × 3 × 3 = 27
- 2 × 2 × 5 = 20
- 3 × 5 = 15
- 7
(3)7、15、20、27、36、48、64
答え：(1)①4 ②4 (2)3、4 (3)7、15、20、27、36、48、64
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