獨協中学 算数 2023年度入学試験問題(第1回) 問4 条件の読み解きの過去問解答・解説です。
問題
太郎君と先生が「2023」という整数について話しています。2人の会話を読んで、あとの問いに答えなさい。
先生 : 「今年は2023年。2023は7年ぶりの7の倍数だね。」
太郎 : 「2023を7で割ると、あが289で余りは0。確かに7の倍数です。」
先生 : 「実は、7の倍数かどうかを見分ける方法があるんだよ。」
太郎 : 「え、筆算を使わずに分かるんですか?」
先生 : 「筆算が必要なときもあるけど、計算の手間を省ける方法だよ。まず、調べたい整数を百の位と千の位の間で区切るんだ。そして、区切ってできた2つの整数を比べて、大きい数から小さい数を引いたいが7の倍数なら、もとの調べたい整数も7の倍数になるよ。」
太郎 : 「えっと…。どういうことでしょうか?」
先生 : 「32109を例に考えてみよう。32109を百の位と千の位の間で区切ると、32と109。109-32=77。この77は7の倍数だから、もとの32109も7の倍数①」ってことだよ。」
太郎 : 「なるほど。じゃあ、区切って引き算した結果、77みたいに小さい数ではなく、もっと大きな数だったらどうするんですか?」
先生 : 「それは筆算するしかないね。例えば6桁の整数を調べるときにこの方法を使えば、最大でもウ桁の整数を7で割れば済むことになるから、計算は楽になるよ。」
太郎 : 「確かに。でも、なぜこの方法で7の倍数かどうかがわかるんですか?」
先生 : 「7の倍数と7の倍数を足した数って、7の倍数になるよね?」
太郎 : 「はい。28+42=70のように、7の倍数どうしの和は7の倍数です。」
先生 : 「ここで、先ほどの32109を次のような式で表してみよう。」
<式>
32109=109+32×1000=109+32×(1001−1)=(109-32)+32×1001
太郎 : 「なんで32×1000をわざわざ32×(1001-1)にしたんですか?」
先生 : 「この1001がポイント。1001は7の倍数だから、32×1001は7の倍数。したがって、109-32が7の倍数になれば、32109は7の倍数どうしの和で表せる②ということになるね。」
太郎 : 「だから、109-32=77が7の倍数かどうかを考えることで、32109が7の倍数かどうかまでわかるんですね。」
(1)文章中のあ、いにあてはまる漢字1文字をそれぞれ答えなさい。
(2)文章中のウにあてはまる整数を答えなさい。
(3)202321が7の倍数であることを、文章中の下線部①のように説明しなさい。
(4)1001は7×11×13と表すことができます。2023が13の倍数ではないことを、文章内の<式>や下線部②にならって説明しなさい。
引用元:獨協中学校 2023年度入学試験問題(第1回) 算数 問4
解答・解説
※解説未掲載
答え：(1)あ:商 い:差 (2)ウ:3 (3)202321を百の位と千の位の間で区切ると、202と321。321-202=119。119÷7=17、7の倍数なので、もとの202321も7の倍数といえる。 (4)2013=23+2×1000=23+2×(1001-1)=(23-2)+(2×1001)=1001は13の倍数で23-2=21が13の倍数でないため、2023は13の倍数ではない。
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