聖光学院中学 算数 2025年度入学試験問題(第1回) 問5 整数の思考問題

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1 問題
2 解答・解説

聖光学院中学算数 2025年度入学試験問題(第1回) 問5 整数の思考問題の過去問解答・解説です。

問題

2つの整数の組に対して、次の操作(a)、(b)のいずれかを行って、新しい2数の組をつくることを考えます。

<操作(a)>

2数が異なる場合は大きい方をA、小さい方をBとして、等しい場合はAとBをともにその数として、「A-B」と「B」を新しい2数の組とする。

ただし、操作(a)の前後で2数の組が変化しない場合は、(a)を行うことはできない。

<操作(b)>

2数が異なる場合は大きい方をA、小さい方をBとして、等しい場合はAとBをともにその数として、「AをBで割った商の整数部分」と「B」を新しい2数の組とする。

ただし、操作(b)の前後で2数の組が変化しない場合や、2数の一方が0の場合は、(b)を行うことはできない。

たとえば、

2数の組(4, 3)に対し、操作(a)を行うと2数の組(1, 3)が得られます。

2数の組(3, 3)に対し、操作(a)を行うと2数の組(0, 3)が得られます。

2数の組(3, 2)に対し、操作(b)を行うと2数の組(1, 2)が得られます。

2数の組(2, 1)に対しては、操作(b)を行っても得られる2数の組は(2, 1)で変化しないので、操作(b)を行うことはできません。

2数の組(2, 0)に対しては、一方が0なので操作(b)を行うことはできません。

2数の組(2, 0)に対しては、操作(a)を行っても得られる2数の組は(2, 0)で変化しないので、操作(a)を行うことはできません。

与えられた2数の組に対し、操作(a)と操作(b)の少なくとも一方を行うことができる限り、操作(a)、(b)のいずれかを選んでくり返し行うことを考えます。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)2数の組(8, 3)に対して操作(a)、(b)を合わせて2回行ったときに得られる2数の組をすべて答えなさい。ただし、2数がPとQである場合は、(P, Q)のように答えなさい。

(2)2数の組(2025, 405)に対して操作(a)、(b)を合わせて　回行うと、操作(a)も操作(b)も行うことができない2数の組となりました。　にあてはまる最も小さい数を答えなさい。

(3)ある2数の組に対して操作(b)を3回行った結果、得られた2数の組は(1, 2)または(2, 1)でした。元の2数の組として考えられるものは全部で何通りありますか。ただし、2数を入れかえた組は同じものとして考えます。たとえば、(2, 3)と(3, 2)は1通りとして数えます。

(4)ある2数の組に対して、操作(a)を1回行って得られる2数の組と、操作(b)を1回行って得られる2数の組が同じでした。このような2数の組の1つは(4, 2)です。この2数の組以外にもこの条件を満たす2数の組は無数にありますが、(4, 2)を除く2数の組は、ある共通の特徴をもっています。その特徴を簡単に説明しなさい。
引用元:聖光学院中学校 2025年度入学試験問題(第1回) 算数問5